Что такое четырехугольник

Четырёхугольники, виды и свойства / Четырехугольник - это фигура, которая состоит из четырех вершин и четырех сторон. Выше) может быть записана в виде: где p полупериметр, e и f -диагонали четырёхугольника. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Если тетраэдр уложен в плоскость , то он имеет нулевой объем и превращается в четырехугольник. Более того, этой точкой пересечения антимедиатрис является точка пересечения его диагоналей. Первая и вторая средние линии четырёхугольника отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон находится Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна 6 :, где, длины диагоналей, a, b, c, d длины сторон. Кроме того, у прямоугольника равны диагонали. На рисунке (вторая группа рисунков сверху) она зеленая, диагонали красные, отрезок с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника тоже красный. Из последнего утверждения следует: если три из четырех биссектрис (или биссекторов проведенных для внутренних углов выпуклого четырёхугольника, пресекаются в одной точке, то в той же точке пресекается и биссектриса его четвертого внутреннего угла. Формула Брахмагупты для площади вписанного в окружность четырёхугольника может быть записана через определитель 7 : Из последней формулы при d 0 автоматически получается научить формула Дроздова. Трапеция называется равнобедренной (равнобочной), если ее боковые стороны равны. Указанная прямая называется прямой Гаусса (на рисунке она показана зеленым цветом). Для простого (несамопересекающегося) четырехугольника, вписанного в окружность, имеющего длины пар противоположных сторон: a и c, b и d, а также длины диагоналей e и f, справедливы: 1) Первая теорема Птолемея : ; 2) Вторая теорема Птолемея : В последней формуле пары смежных сторон числителя. Сумма квадратов трех средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей. Четырёхугольники невыпуклый выпуклый самопересекающийся, вписанный трапеция описанный равнобедренная трапеция равнобокая параллелограмм стороны параллельны антипараллелограмм стороны антипараллельны выпуклый ромбоид ( дельтоид ) диагонали перпендикулярны прямоугольник прямые углы, ромб равнобедренный квадрат, четырёхугольник это геометрическая фигура ( многоугольник состоящая из четырёх точек (вершин три из которых не лежат. Замечание 2: У дельтоида одна диагональ делит пополам другую. Примером может быть и квадрат, и паралелепипед и ромб и любой прямоугольник. Соотношения между сторонами и диагоналями четырехугольникаПравить Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением. Окружности девяти точек треугольников внутри четырехугольникаПравить Основная статья: Окружность девяти точек В произвольном выпуклом четырехугольнике окружности девяти точек треугольников, на которые его разбивают две диагонали, пересекаются в одной точке. Частным вписанно-описанным четырехугольником является квадрат. Параллельные стороны называются основаниями. Четырехугольники с перпендикулярными сторонамиПравить Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей. Тогда точки лежат на одной окружности. Последняя формула следует из общей формулы (1) в рамке в параграфе "Площадь если в ней учесть, что Последняя формула есть обобщение формулы Герона на случай четырёхугольника. Частными четырёхугольниками, описанными около окружности, являются: ромб, квадрат, дельтоид. Эта прямая называется прямой Гаусса. Площадь вписанно-описанного четырехугольника: Если четырёхугольник и вписан, и описан, то по формуле (1) в рамке в параграфе "Площадь" имеем. Фигура с четырьмя углами. Частными четырёхугольниками, вписанными в окружность, являются: прямоугольник, квадрат, равнобедренная или равнобочная трапеция, антипараллелограмм. Площадь описанного четырехугольника Условие означает, что. На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника (если они не параллельны). Центр вневписанной окружности лежит на пересечении шести биссектрис. Математика- Четырехугольники- виды четырехугольников- Тестирование онлайн, параллелограмм и трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат, параллелограмм. Основные виды четырехугольников: параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб, трапеция. В этой теореме под антимедиатрисой 16 понимают отрезок четырехугольника на рисунке справа (по аналогии с серединным перпендикуляром (медиатрисой) к стороне треугольника). Неравенство Птолемея для сторон и диагоналей выпуклого четырёхугольника имеет вид: причём равенство достигается тогда и только тогда, когда выпуклый четырехугольник вписан в окружность или его вершины лежат на одной прямой. Пусть вписанный четырёхугольник, основание перпендикуляра, опущенного из вершины на диагональ ; аналогично определяются точки. ИсторияПравить В древности египтяне и некоторые другие народы использовали для определения площади четырёхугольника неверную формулу произведение полусумм его противоположных сторон a, b, c,. Последняя формула получается из формулы площади предыдущего параграфа для описанного четырехугольника, если учесть, что (для вписанного четырехугольника ). Онлайн калькуляторы, на нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике. Эту теорему называют японской теоремой (Japanese theorem). Это соотношение можно представить в виде определителя: Замечание. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Примеры решения задач, понравился сайт? Для непрямоугольных четырёхугольников эта формула даёт завышенное значение площади. Если у четырехугольника перпендикулярны диагонали и он может быть вписан в некоторую окружность, то четыре его антимедиатрисы пересекаются в одной точке. Если в четырёхугольнике две пары противоположных сторон не параллельны, то две середины его диагоналей лежат на прямой, которая проходит через середину отрезка, соединяющего две точки пересечения этих двух пар противоположных сторон (на рисунке точки показаны красным цветом). Вписано-описанные четырехугольникиПравить Вписано-описанные четырехугольники - четырехугольники, которые могут быть одновременно описаны около некоторой окружности, а также вписаны в некоторую окружность. Такая конфигурация встречается в некоторых утверждениях евклидовой геометрии (например, теорема Менелая, прямая Гаусса, прямая Обера, теорема Микеля. Средние линии четырёхугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон. Это утверждение называется теоремой Пито. Квадрат есть частный вид прямоугольника, а также частный вид ромба. Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Четырехугольники, описанные около окружностиПравить Основная статья: Вписанная окружность Говорят, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то четырёхугольник описан около этой окружности, и наоборот. Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника abcd пересекаются в точках E и F, то условием его внеописанности является любое из двух условий ниже: Свойства диагоналей некоторых четырехугольниковПравить В следующей таблице указано, есть ли у диагоналей некоторых из самых основных четырехугольников деление пополам в точке их пересечения. Он перпендикулярен одной стороне и одновременно проходит через середину противоположной ей стороны четырехугольника. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме. Первые две из них также называют бимедианами (bimedians 2 ) 3 Точки E, K, F лежат на одной прямой, прямой Ньютона Обобщенная теорема Ньютона. Свойства:Править Любое такое одно из двух указанных ниже условий по отдельности является необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы данный выпуклый четырехугольник был вписанно-описанным для некоторых окружностей:. Более того, диаметром этой окружности будет служить диагональ, на которую опираются одними концами указанные две пары смежных сторон. Соотношения Бретшнайдера соотношение между сторонами a, b, c, d и противоположными углами и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника. Первый из них назовем большим параллелограммом Вариньона Центры всех трех параллелограммов Вариньона лежат на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон диагонали вариньоновского параллелограмма). Замечание 1: Наиболее общие трапеции и равнобедренные трапеций не имеют перпендикулярных диагоналей, но есть бесконечное число (неподобных) трапеций и равнобедренных трапеций, которые действительно имеют перпендикулярные диагонали и не похожи на какой-либо другой названный четырехугольник. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник. Справочник, основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Поэтому он имеет все их свойства. Все углы квадрата прямые. Наиболее общий дельтоид имеет неодинаковые диагонали, но есть бесконечное число (неподобных) дельтоидов, у которых диагонали равны по длине (и дельтоиды не являются каким-либо другим из названных четырехугольников). Равенство в обобщенном неравенстве четырехугольника достигается только в том случае, если он вырожденный, то есть все четыре его вершины лежат на одной прямой. Далее можно заметить: Следовательно, Тогда по формуле (1) в рамке в параграфе "Площадь" имеем Поскольку четырёхугольник описан, то его площадь также равна половине периметра p, умноженной на радиус r вписанной окружности.