Как найти наименьшее значение функции на отрезке

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Садимся на берег синего моря и бьём пятками по мелководью: Пример 1 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Решение : 1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку: Полученное квадратное уравнение имеет два действительных корня: критические точки. Найти наибольшее значение функции на отрезке Решение: Ответ: 1 Пример 7: Найдите наибольшее значение функции на отрезке Решение Ответ:. Эта ситуация отображена на графике 1 в начале статьи. Кстати, а что происходит вне отрезка? Получили, что на всем отрезке функция убывает. Дальнейшие вычисления задачи я распишу максимально подробно, но без комментариев. Во-первых, критических точек может не оказаться вообще. Ответ : Раз, два, три, четыре, пять мне пора верстать. Точек экстремумов у нее нет. Скорее всего, вы прочитали данную статью в ненастную погоду, поэтому желаю всем скорейшего летнего загара без зачётки в кармане! 3) Вычислить значения функции в стационарных точках и на границах интервала. Решение: Упростим функцию Ответ:. В правильность вычислений можно убедиться, взглянув на график исследуемой функции. Решение новых прототипов задач (разбирает решение учитель) Пример. Очевидно, что как бы далеко мы не растягивали график вверх и вниз (вдоль оси функция всё равно останется ограниченной изгородь сверху, изгородь снизу, и наше изделие пасётся в загоне. Но, понятно, такое совпадение имеет место далеко не всегда. Среди полученных значений выбрать наибольшее или такое наименьшее. 4) Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее) и записать ответ. Это следует из определения максимума и интуитивного понимания словосочетания «максимальное значение». Предварительно можно раскрыть скобки, но не особо сложнее использовать и правило дифференцирования произведения: критические точки. Алгоритм лежит на поверхности и напрашивается из приведённого рисунка: 1) Находим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку. В моей коллекции есть и те и те примеры, но они унылы как бескрайние просторы Сахары. Во втором пункте речь зашла о так называемой односторонней непрерывности функции в точке. Алгоритм решения задачи. Фронтальная проверка домашнего задания. Ну или с дипломом на груди ой, что-то я не то сказал ) Решения и ответы: Пример 2: Решение : 1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку: критические точки. По сути, всё задание сводится к нахождению двух значений функции на концах интервала. Если же производная на отрезке всюду положительна, то функция возрастает. Находить какие-то значения функции здесь, разумеется, тоже не надо. Вычислим значение функции в нужной точке: Итоговый результат я выделил жирным цветом, при оформлении задания в тетради его удобно обвести в кружок простым карандашом или пометить как-то по-другому. Ответ : Критическое значение на поверку оказалось точкой максимума, но об этом нас никто не спрашивал. Найдите наименьшее значение функции на отрезке. Найти наименьшее значение функции на отрезке Решение Ответ: - 1 Пример. 3) Среди найденных в 1-м и 2-м пунктах значений функции выбираем самое маленькое и самое большое число, записываем ответ. Для анионы решения практических заданий необходимо уметь находить производные и понимать материал статьи, интервалы монотонности и экстремумы функции. Если у большинства учащихся возникли вопросы, разобрать на доске решение конкретного задания, если лишь у некоторых, объяснить в индивидуальном порядке, предварительно схематично обговорив решение у доски. Она же непрерывна в точке слева, если определена в данной точке и её левосторонний предел равен значению в этой точке: Представьте, что зелёные точки это гвозди, на которых закреплена волшебная резинка: Мысленно возьмите красную линию в руки. Если честно, не терпится захлопнуть ноут и похулиганить, но всё-таки мужественно разберу нетривиальную вещь: Пример 7 Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке Решение : 1) Найдём критические точки. Тогда, для нахождения или : Находим находим, проверяем принадлежность отрезку, находим. Преобразуем и упростим функцию, используя свойство логарифмов Ответ: -6. 2) Найти стационарные точки (и точки, подозрительные на экстремум решив уравнение. Пример 2 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Это пример для самостоятельного решения. Найти наименьшее значение функции на отрезке Решение. Ответ : Дробно-рациональный экземпляр для самостоятельного решения: Пример 6 Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке Вычисления в данном случае не менее кропотливы и точно так же потребуют вмешательства калькулятора (если вы, конечно, не вундеркинд). Гораздо интереснее снять кепки, солнечные очки и отправиться играть в пляжный футбол: Пример 3 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке Решение : всё опять начинается дежурной фразой: 1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку: Да, критических точек тут. 2)Вычислим значения функции на концах отрезка: Ответ : Пример 4: Решение : 1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку: критические точки. Демонстрационная функция достигает максимума и волей судьбы это же число является наибольшим значением функции на отрезке. Иногда техническая трудность рассматриваемого задания состоит в замысловатой производной и громоздких вычислениях: Пример 5 Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке Решение : отрезок, надо сказать, творческий, но пример взят из конкретной контрольной работы и ни в коем случае не придуман. Она достигает своего минимального и максимального значения в любой точке промежутка, причем минимальное и максимальное значения равны между собой. Обратить внимание на точки, в которых не существует двусторонней конечной производной. 2) Вычисляем значения функции на концах отрезка. Воспитательные задачи: cодействовать в ходе урока формированию основных мировоззренческих идей (материальность мира, познаваемость мира и его закономерностей, обусловленность развития науки потребностям производства cодействовать воспитанию у учащихся таких нравственных качеств, как коллективизм; cодействовать профилактике утомляемости школьников, используя разнообразные виды работы на уроке. Ответ : Пример 6: Решение : 1) Вычислим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку: критические точки. Образцово-показательное поведение функции на отрезке формулируется похожим образом. Теорема (Вторая теорема Вейерштрасса Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке, то она достигает в этом промежутке своих наибольшего и наименьшего значений. Просто записываем вывод: «критические точки отсутствуют» и переходим ко второму пункту алгоритма. Ловите ещё одну плюшку: здесь отпадает необходимость проверять достаточное условие экстремума, поскольку, как только что было показано, наличие минимума или максимума ещё не гарантирует, что там минимальное или максимальное значение. Замечание: Наибольшего значения функция достигает в точке максимума, а наименьшего на границе отрезка. Впрочем, для саморазвития можете устно подмечать такие факты. Ведь когда-то и Земля считалась плоской, поэтому сегодня даже обыденная телепортация требует доказательства ). Решаем уравнение: Второй корень принадлежит нашему отрезку: Если вам не понятно, почему именно такой корень, обязательно обратитесь к школьному учебнику Алгебра и начала анализа 10-11 класс и повторите, что такое логарифм, ибо плох тот студент, который не мечтает овладеть логарифмами. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функций и на отрезке. Действительно, откуда вы знаете, что нас ждёт за горизонтом?